दो अतिपरवलयों frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होती है।इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^

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$y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$

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(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होती है।इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने के लिए,$y = mx + c$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.चूंकि यह स्पर्श रेखा है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0 \Rightarrow c^2 = a^2 - b^2m^2$.$c^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.$m^2 = 1$ को $c^2 = a^2m^2 - b^2$ में रखने पर:$c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ हैं।

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं-

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